Clase 2

 Programación Lineal 

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una beneficio máxima?

1) Elección de las incógnitas

{x = \mbox{n\'umero de pantalones}}

 

{y = \mbox{n\'umero de chaquetas}}

 

 2) Función objetivo

{f(x,y)= 50x + 40y}

 

 3) Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones	chaquetas	disponible
algodón
poliéster

 

{x + 1.5y  \le 750 2x+3y \le 1500}

{2x + y \le 1000}

 

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser {x \ge 0} e {y \ge 0}, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

1

Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2

Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3

Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla

pantalones	chaquetas	disponible
algodón	1	1,5	750
poliéster	2	1	1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4

Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara {L_{1}} y {L_{2}}. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo {L_{1}} y de  30 minutos para el {L_{2}}; y un trabajo de máquina para {L_{1}} y de 10 minutos para {L_{2}}. Se dispone para el trabajo manual de  100 horas al mes y para la máquina  80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de  15 y  10 euros para {L_{1}} y {L_{2}}, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{n\'umero de l\'amparas} \; L_{1}}

{y = \mbox{n\'umero de l\'amparas} \; L_{2}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x, y) = 15x + 10y}

 

 3  Restricciones

 

Pasamos los tiempos a horas

{20 \; min = 1/3 \; h}

{30 \; min = 1/2 \; h}

{10 \; min = 1/6 \; h}

 

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

			Tiempo
Manual
Máquina

{1/3x + 1/2y \le 100}

{1/3x + 1/6y \le 80}

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser {x \ge 0} e {y \ge 0}, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: {1/3 x + 1/2 y \le 100}; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el  (0,0) .

{1/3\cdot 0 + 1/2\cdot 0 \le 100}

{1/3\cdot 0 + 1/6\cdot 0 \le 80}

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo  con un espacio refrigerado de  m³ y un espacio no refrigerado de  m³. Los del tipo , con igual cubicaje total, al  % de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de  m³ de producto que necesita refrigeración y  m³ de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo  es de  € y el  de  €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

1  Elección de las incógnitas.

{x = \mbox{camiones de tipo} \; A}

{y = \mbox{camiones de tipo} \; B}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x,y) = 30x + 40y}

 

 3  Restricciones

			Total
Refrigerado
No refrigerado

{20x + 30y \ge 3 000}

{40x + 30y \ge 4 000}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia {A} y otras 15 de una sustancia {B}. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo {X} con una composición de una unidad de {A} y 5 de {B}, y el otro tipo, {Y}, con una composición de cinco unidades de {A} y una de {B}. El precio del tipo {X} es de 10 euros y del tipo {Y} es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Elección de las incógnitas.

 

{x = X}

{y = Y}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x,y) = 10x + 30y}

 

 3  Restricciones 

			Mínimo

{x + 5y \ge 15}

{5x + y \ge 15}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

https://www.youtube.com/watch?v=6ehilOTVQu8&ab_channel=unProfesor 

https://www.youtube.com/watch?v=0SSkMnP-3IQ&ab_channel=IngEDarwin

https://www.youtube.com/watch?v=07NxAZRCRMo&ab_channel=F%C3%ADsicayMates