Clase # 8 (24/11/2020)

 Tema: Prueba Parcial

Prueba:  https://www.youtube.com/watch?v=r5blW92IdXM&ab_channel=NoeliaArteaga

Clase #7 (17/11/2020)

 Tema: RADICACIÓN DE NUMEROS COMPLEJOS

https://drive.google.com/file/d/17SUzi9UytE1y0vnbaWUO0jCvZoukRZjf/view?usp=sharing 

Clase 6 (11/11/2020)

 Tema:     EJERCICIOS DE NÙMEROS COMPLEJOS 

POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Ejemplo: 

PASO DE LA FORMA BINÒMICA A LA TRIGONOMÈTRICA

Fórmula de Moivre

Clase 5 (10/11/2020)

 Operaciones con números complejos 

La suma de números complejos 

Ejercicio Calcular (2+i)+(1+3i)

La resta de números complejos     

 

 Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2

Podemos ver los detalles para verificar que (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i   

Multiplicación de números complejos

Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que

i 2 = -1.

z*w = (a + bi)*(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i El resultado es otro número complejo 
que tiene: Parte real igual al producto de las partes reales de los números, menos el producto de las partes imaginarias. Parte imaginaria igual al producto de la parte real del primero
 por la parte imaginaria del segundo, más la parte imaginaria del primero por la parte real del segundo. En el ejemplo dado a continuación, (1+i)*(-1+i) = -1+i-i+i^2 = -1-1 = -2 En el caso de que deseemos realizar el producto de números complejos en forma polar, obtendríamos un numero complejo tal que: Su módulo es el producto de los módulos de los factores. Su argumento es la suma es la suma de los argumentos de los factores. r(α)*s(β) = (r*s)(α+ β) En el ejemplo dado a continuación, √2(45)*√2(135) = √2*√2(45+135) = 2(180) = -2

División de números complejos

Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo). El resultado es otro número complejo que tiene: Parte real igual al producto de las partes reales de los números, más el producto de las partes imaginarias, dividido entre la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria del divisor. Parte imaginaria igual al producto del a parte imaginaria del primero por la parte real del segundo, menos la parte real del primero por la parte imaginaria del segundo, dividido entre la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria del divisor. En el ejemplo dado a continuación, (1+i)/(-1+i) = (1+i)*(-1-i)/ (-1+i)*(-1-i) = -1-i-i-i^2/1-i^2 = -2i/2 = -i En el caso de que deseemos realizar el cociente de números complejos en forma polar, obtendríamos un numero complejo tal que: Su módulo es el cociente de los módulos de los factores. Su argumento es la resta de los argumentos de los factores. r(α)/s(β) = (r/s)(α-β) En el ejemplo dado a continuación, √2(45)/√2(135) = √2/√2 (45-135) = 1(-90) = 1(270) = -i

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Propiedades de la suma de complejos

Conmutativa → (a ,b)+(c ,d )=(c ,d )+(a ,b) 

Asociativa → [(a ,b)+(c ,d )]+(e , f )=(a ,b)+[(c ,d)+(e , f )] 

Elemento neutro (0,0) → (a ,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a ,b)

Elemento simétrico (−a ,−b) (opuesto) → (a ,b)+(−a ,−b)=(a−a ,b−b)=(0,0)

Propiedades del producto de complejos 

Conmutativa → (a ,b)·(c ,d)=(c ,d)·(a ,b)

Asociativa → [(a ,b)·(c ,d)]·(e , f )=(a ,b)·[(c ,d )·(e , f )] 

Elemento neutro (1,0) → (a ,b)·(1,0)=(a· 1−b·0, a· 0+b·1)=(a ,b)

Elemento simétrico ( a a 2 +b 2 , −b a 2 +b 2 ) (inverso) → (a ,b)·( a a 2 +b 2 , −b a 2 +b 2 )=(1,0) 

Distributiva respecto de la suma → (a ,b)·[(c , d )+(e , f )]=(a , b)·(c , d )+(a , b)·(e , f )

Ejemplos:

Suma de números complejos 

Resta de números complejos 

(−3 + 3i) – (7 – 2i)

(−3 + 3i) – (7 – 2i) =

−3 + 3i – 7 + 2i

−3 – 7 + 3i + 2i

−3 – 7 = −10 y

3i + 2i = (3 + 2)i = 5i

(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i

Multiplicación de números complejos

División de números complejos

 

 )=

Clase 4

Tema: Números complejos  

Historia de los números complejos

Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos, como ser Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos.

En primer lugar, su interés era dar con las raíces reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, lo redescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía.

Representaciones de números complejos.

Los números complejos tienen varias formas de representación. A saber:

Representación puntual.

Representación algebraica.

Representación trigonométrica.

Representación exponencial.

La Ley de Euler para los complejos plantea la asociación: