Operaciones con números complejos
La suma de números complejos
Ejercicio Calcular
La resta de números complejos
Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2
Podemos ver los detalles para verificar que (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i
Multiplicación de números complejos
Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que
i 2 = -1.
z*w = (a + bi)*(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
El resultado es otro número complejo
que tiene:
Parte real igual al producto de las partes reales de los números, menos el producto de las partes imaginarias.
Parte imaginaria igual al producto de la parte real del primero
por la parte imaginaria del segundo, más la parte imaginaria del primero por la parte real del segundo.
En el ejemplo dado a continuación, (1+i)*(-1+i) = -1+i-i+i^2 = -1-1 = -2
En el caso de que deseemos realizar el producto de números complejos en forma polar, obtendríamos un numero complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos de los factores.
Su argumento es la suma es la suma de los argumentos de los factores.
r(α)*s(β) = (r*s)(α+ β)
En el ejemplo dado a continuación, √2(45)*√2(135) = √2*√2(45+135) = 2(180) = -2
División de números complejos
Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).
El resultado es otro número complejo que tiene:
Parte real igual al producto de las partes reales de los números, más el producto de las partes imaginarias, dividido entre la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria del divisor.
Parte imaginaria igual al producto del a parte imaginaria del primero por la parte real del segundo, menos la parte real del primero por la parte imaginaria del segundo, dividido entre la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria del divisor.
En el ejemplo dado a continuación, (1+i)/(-1+i) = (1+i)*(-1-i)/ (-1+i)*(-1-i) = -1-i-i-i^2/1-i^2 = -2i/2 = -i
En el caso de que deseemos realizar el cociente de números complejos en forma polar, obtendríamos un numero complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos de los factores.
Su argumento es la resta de los argumentos de los factores.
r(α)/s(β) = (r/s)(α-β)
En el ejemplo dado a continuación, √2(45)/√2(135) = √2/√2 (45-135) = 1(-90) = 1(270) = -i
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Propiedades de la suma de complejos
Conmutativa → (a ,b)+(c ,d )=(c ,d )+(a ,b)
Asociativa → [(a ,b)+(c ,d )]+(e , f )=(a ,b)+[(c ,d)+(e , f )]
Elemento neutro (0,0) → (a ,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a ,b)
Elemento simétrico (−a ,−b) (opuesto) → (a ,b)+(−a ,−b)=(a−a ,b−b)=(0,0)
Propiedades del producto de complejos
Conmutativa → (a ,b)·(c ,d)=(c ,d)·(a ,b)
Asociativa → [(a ,b)·(c ,d)]·(e , f )=(a ,b)·[(c ,d )·(e , f )]
Elemento neutro (1,0) → (a ,b)·(1,0)=(a· 1−b·0, a· 0+b·1)=(a ,b)
Elemento simétrico (
a
a
2
+b
2
,
−b
a
2
+b
2
) (inverso) → (a ,b)·(
a
a
2
+b
2
,
−b
a
2
+b
2
)=(1,0)
Distributiva respecto de la suma → (a ,b)·[(c , d )+(e , f )]=(a , b)·(c , d )+(a , b)·(e , f )
Ejemplos:
Suma de números complejos
Resta de números complejos
(−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
−3 – 7 + 3i + 2i
−3 – 7 = −10 y
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Multiplicación de números complejos
División de números complejos
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